Una media poblacional

Descripción

Este contraste se usa cuando quieres comprobar si la media poblacional es igual a un valor de referencia \(\mu_0\). Con muestras moderadas o grandes, una aproximación práctica es usar el estadístico z con la desviación estándar muestral.

Hipótesis y estadístico

\(H_0: \mu = \mu_0\)

\(H_1: \mu \neq \mu_0\), \(\mu > \mu_0\) o \(\mu < \mu_0\)

\( z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \)

• \(\bar{x}\): media muestral.
• \(\mu_0\): media planteada en la hipótesis nula.
• \(s\): desviación estándar muestral.
• \(n\): tamaño de la muestra.

Conceptos clave del contraste

¿Qué es un contraste de hipótesis? Es un procedimiento para decidir si los datos observados son compatibles con una afirmación inicial \(H_0\). Si los datos son muy improbables bajo \(H_0\), se rechaza \(H_0\).

• Error tipo I (\(\alpha\)): probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando en realidad era cierta (falso positivo).
• Error tipo II (\(\beta\)): probabilidad de no rechazar \(H_0\) cuando en realidad era falsa (falso negativo).
• Potencia (\(1-\beta\)): probabilidad de detectar una diferencia real cuando existe. Sube con mayor tamaño muestral, mayor efecto real o un \(\alpha\) más grande.

¿Por qué en este caso se usa esta fórmula?

Se utiliza \( z = (\bar{x} - \mu_0)/(s/\sqrt{n}) \) porque estamos comparando una sola media muestral frente a un valor hipotético \(\mu_0\), y el denominador representa el error estándar de \(\bar{x}\).

Con muestras moderadas o grandes, esta estadística suele aproximarse bien a una normal estándar. Para muestras pequeñas y población normal, es habitual usar la t de Student con \(n-1\) grados de libertad.

Interpretación rápida

• Si el p-valor es menor que \(\alpha\), se rechaza \(H_0\).
• Si el p-valor es mayor o igual que \(\alpha\), no hay evidencia suficiente para rechazar \(H_0\).
• Un resultado no significativo no demuestra que \(H_0\) sea verdadera.