Descripción
El test exacto de Fisher permite contrastar si existe asociación entre dos variables categóricas binarias organizadas en una tabla 2×2. A diferencia del chi-cuadrado de Pearson, no necesita ninguna aproximación asintótica: calcula la probabilidad exacta de cada tabla posible con los mismos márgenes fijos usando la distribución hipergeométrica.
Es especialmente adecuado cuando las frecuencias esperadas son bajas (por ejemplo, menores que 5 en alguna celda), en ensayos clínicos pequeños, estudios de eventos raros o análisis de subgrupos. Cuando el tamaño muestral es grande, el chi-cuadrado de Pearson tiende a coincidir con Fisher.
Bajo la hipótesis nula de independencia, el recuento en la celda (1,1) sigue una distribución hipergeométrica condicionada a los márgenes de la tabla:
Hipótesis y estadístico
\(H_0\): independencia entre filas y columnas (OR = 1)
\(H_1\): asociación (OR ≠ 1)
\[P(X = k) = \frac{\dbinom{a+b}{k}\dbinom{c+d}{a+c-k}}{\dbinom{n}{a+c}}\]
\[\text{OR} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\]
Calculadora
Introduce los recuentos de la tabla 2×2 y obtén el p-valor exacto, la odds ratio y la decisión del contraste.
| Columna A | Columna B | |
|---|---|---|
| Fila 1 | ||
| Fila 2 |
El gráfico muestra la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica: cada barra representa la probabilidad exacta de que la celda a tome el valor k, dados los márgenes fijos de la tabla. Las barras en rojo son las que contribuyen al p-valor (las más extremas según el tipo de contraste); la barra en naranja marca el valor observado. El p-valor es la suma de las probabilidades rojas.
Contraste rápido
El p-valor exacto se obtiene sumando las probabilidades hipergeométricas de todas las tablas con los mismos márgenes que son al menos tan extremas como la observada. Para el contraste bilateral se suman todas las tablas cuya probabilidad es menor o igual que la de la tabla observada.
Cola derecha: \(\displaystyle p = \sum_{k \geq a} P(X = k)\)
Cola izquierda: \(\displaystyle p = \sum_{k \leq a} P(X = k)\)
Bilateral: \(\displaystyle p = \sum_{P(X=k)\,\leq\,P(X=a)} P(X = k)\)
La odds ratio (OR) cuantifica la fuerza de la asociación: OR = 1 indica independencia, OR > 1 indica mayor frecuencia del evento en la fila 1, OR < 1 indica lo contrario. Para completar el análisis conviene acompañar el p-valor con un intervalo de confianza para el OR.
¿Qué calcula esta herramienta?
Esta calculadora del test exacto de Fisher calcula el p-valor exacto para tablas 2×2 mediante la distribución hipergeométrica, sin aproximaciones asintóticas. Además reporta la odds ratio observada y la decisión del contraste al nivel de significación elegido. El gráfico muestra la distribución de probabilidades de todas las tablas posibles con los mismos márgenes, destacando cuáles contribuyen al p-valor.
Fórmula utilizada
Para cada tabla posible con márgenes fijos, la probabilidad exacta es:
\[ P(X = k) = \frac{\dbinom{a+b}{k}\dbinom{c+d}{a+c-k}}{\dbinom{n}{a+c}} \]
donde \(k\) varía entre \(k_{\min} = \max(0,\,(a+c)+(a+b)-n)\) y \(k_{\max} = \min(a+b,\,a+c)\).
Ejemplo de uso
Imagina un ensayo clínico con 10 pacientes tratados y 10 controles. De los tratados, 8 mejoran; de los controles, solo 1. Con estas frecuencias pequeñas, el chi-cuadrado puede no ser fiable porque las frecuencias esperadas son bajas. El test exacto de Fisher calcula directamente la probabilidad de observar esta tabla, o una más extrema, bajo la hipótesis de independencia.
Cómo interpretar el resultado
Si el p-valor es menor que \(\alpha\), se rechaza \(H_0\): hay evidencia estadística de asociación entre las filas y las columnas. Si el p-valor es mayor o igual que \(\alpha\), no hay evidencia suficiente para rechazar la independencia.
Una OR > 1 indica que el evento es más frecuente en la fila 1; OR < 1 indica que es menos frecuente. La dirección de la asociación debe interpretarse siempre en el contexto del diseño del estudio.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuándo elegir Fisher frente a chi-cuadrado? Cuando alguna frecuencia esperada es inferior a 5, o cuando el tamaño muestral total es menor de 20.
- ¿Es conservador el test de Fisher? En algunos escenarios puede serlo respecto a alternativas como el test de Barnard, pero es el estándar más aceptado para tablas 2×2 con pocos datos.
- ¿Puedo usar Fisher con muestras grandes? Sí, aunque con muestras grandes el chi-cuadrado de Pearson ofrece resultados prácticamente idénticos y es computacionalmente más directo.
- ¿Qué significa que la OR sea 0 o infinita? Ocurre cuando alguna celda vale 0. En ese caso la OR no está definida, aunque el p-valor exacto sí puede calcularse.