Intervalo de confianza para una varianza

Descripción

Mientras los intervalos para la media usan la distribución normal o t (que son simétricas), el intervalo para la varianza usa la distribución chi-cuadrado, que es asimétrica y positiva. Por eso los límites del intervalo no están equidistantes del estimador puntual \(s^2\).

Este intervalo es fundamental en control de procesos (SPC), donde importa no solo la media de un proceso sino también su variabilidad. También aparece en metaanálisis, diseño de experimentos y auditoría de procesos de medición.

Fórmula para la varianza

\( \left[\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}},\;\; \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}}\right] \)

• \(s^2\): varianza muestral (con divisor \(n-1\)).
• \(n\): tamaño de la muestra.
• \(\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}\): percentil superior de la chi-cuadrado (cola derecha).
• \(\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}\): percentil inferior de la chi-cuadrado (cola izquierda).

Fórmula para la desviación típica

\( \left[\sqrt{\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}}},\;\; \sqrt{\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}}}\right] \)

Se obtiene aplicando raíz cuadrada a cada extremo del IC de la varianza.

Ejemplo real

Una línea de envasado llena botellas con \(s = 2{,}3\) ml a partir de \(n = 25\) mediciones. Con 95 % de confianza (\(gl = 24\), \(\chi^2_{0,025} \approx 39{,}36\), \(\chi^2_{0,975} \approx 12{,}40\)):

\( \sigma^2 \in \left[\frac{24 \cdot 5{,}29}{39{,}36},\;\frac{24 \cdot 5{,}29}{12{,}40}\right] \approx [3{,}23,\; 10{,}24] \text{ ml}^2 \)

\( \sigma \in [1{,}80,\; 3{,}20] \text{ ml} \)

Supuesto de normalidad

Este intervalo asume que la variable subyacente sigue una distribución normal. A diferencia del IC para la media, el IC para la varianza no está protegido por el teorema central del límite: es muy sensible a desviaciones de la normalidad. Si los datos no son normales, considera transformaciones o métodos robustos.

¿Qué calcula esta herramienta?

Esta calculadora construye el intervalo de confianza para la varianza \(\sigma^2\) y la desviación típica \(\sigma\) poblacional usando la distribución chi-cuadrado con \(n-1\) grados de libertad. Calcula automáticamente los percentiles chi-cuadrado necesarios y muestra la región de confianza sobre la distribución.

Preguntas frecuentes

• ¿Por qué el intervalo no es simétrico respecto a s²? Porque la distribución chi-cuadrado es asimétrica; los percentiles superior e inferior no están equidistantes del centro.
• ¿Puedo usar este IC si los datos no son normales? No es recomendable; el intervalo chi-cuadrado es muy sensible a la no normalidad. Usa tests de normalidad primero.
• ¿Qué pasa si n es muy pequeño? El intervalo será muy amplio, reflejando la alta incertidumbre con pocas observaciones.