Intervalo de confianza para una media (σ desconocida)

Descripción

En la práctica, la desviación típica poblacional \(\sigma\) raramente se conoce con exactitud. Cuando se estima a partir de los propios datos muestrales usando \(s\), aparece una incertidumbre adicional que modela la distribución t de Student con \(n-1\) grados de libertad.

Con muestras grandes (n ≥ 30), la t de Student converge a la normal estándar y ambos intervalos dan resultados muy similares. Para muestras pequeñas, la t produce intervalos más anchos, reflejando correctamente la mayor incertidumbre.

Fórmula

\( \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\, n-1} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \)

• \(\bar{x}\): media muestral observada.
• \(t_{\alpha/2,\, n-1}\): valor crítico de la t de Student con \(n-1\) grados de libertad.
• \(s\): desviación estándar muestral (con divisor \(n-1\)).
• \(n\): tamaño de la muestra.

El margen de error es \(E = t_{\alpha/2,\, n-1} \cdot s/\sqrt{n}\) y el intervalo es \([\bar{x} - E,\; \bar{x} + E]\).

Ejemplo real

Se mide el tiempo de respuesta (en ms) de un servicio web en 15 peticiones: \(\bar{x} = 245{,}3\) ms, \(s = 38{,}7\) ms. Con 95 % de confianza y \(gl = 14\):

\( 245{,}3 \pm 2{,}145 \cdot \frac{38{,}7}{\sqrt{15}} \approx [224{,}0,\; 266{,}7] \text{ ms} \)

Supuestos del intervalo t

• La muestra es aleatoria e independiente.
• La variable se distribuye normalmente en la población (especialmente importante para muestras pequeñas). Para n grande, el teorema central del límite lo justifica aunque la distribución no sea exactamente normal.
• \(\sigma\) es desconocida y se estima con \(s\).

¿Qué calcula esta herramienta?

Esta calculadora construye el intervalo de confianza bilateral para la media poblacional \(\mu\) usando la distribución t de Student cuando \(\sigma\) es desconocida. Calcula automáticamente los grados de libertad, el valor crítico t, el error estándar y los límites del intervalo.

Preguntas frecuentes

• ¿Por qué se usa t en lugar de z? Porque al estimar \(\sigma\) con \(s\) se introduce incertidumbre adicional; la distribución t tiene colas más pesadas para captarla.
• ¿Cuándo convergen t y z? Para n ≥ 30 la diferencia es prácticamente despreciable en la mayoría de aplicaciones.
• ¿Necesito que los datos sean normales? Para n pequeño sí importa. Para n grande, el TCL garantiza que \(\bar{x}\) se distribuye aproximadamente normal.