Intervalo de confianza para la diferencia de medias

Descripción

Cuando se comparan dos grupos independientes (tratamiento A vs. B, planta 1 vs. planta 2, antes vs. después con muestras diferentes), el intervalo de confianza para la diferencia de medias \(\mu_1 - \mu_2\) permite cuantificar la magnitud de la diferencia y su incertidumbre.

Existen dos variantes según si las varianzas poblacionales son iguales o distintas. Si 0 queda fuera del intervalo, hay evidencia de que las medias difieren.

Varianzas iguales (pooled)

\( (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2,\, n_1+n_2-2} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \)

con varianza agrupada:

\( s_p^2 = \dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \)

Varianzas distintas (Welch)

\( (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2,\, \nu} \cdot \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}} \)

con grados de libertad de Welch–Satterthwaite:

\( \nu = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} \)

Ejemplo real

Grupo A (nuevo fármaco): \(\bar{x}_1 = 5{,}2\), \(s_1 = 1{,}4\), \(n_1 = 20\). Grupo B (placebo): \(\bar{x}_2 = 4{,}7\), \(s_2 = 1{,}6\), \(n_2 = 22\). Con 95 % de confianza (Welch), el IC de la diferencia incluiría el 0, por lo que no habría evidencia significativa de diferencia.

¿Varianzas iguales o distintas?

En la práctica se recomienda usar Welch por defecto: es robusto tanto si las varianzas son iguales como si no, y su pérdida de potencia con varianzas iguales es mínima. El supuesto de varianzas iguales solo debería adoptarse si hay fuerte evidencia previa de que \(\sigma_1 = \sigma_2\).

¿Qué calcula esta herramienta?

Esta calculadora obtiene el intervalo de confianza para \(\mu_1 - \mu_2\) con dos muestras independientes. Ofrece el método de Welch (varianzas desiguales) y el método pooled (varianzas iguales), calculando automáticamente los grados de libertad y el valor crítico t.

Preguntas frecuentes

• ¿Cuándo el IC indica diferencia significativa? Cuando el valor 0 queda fuera del intervalo [L, U].
• ¿Welch es siempre válido? Para muestras independientes con distribución aproximadamente normal sí. Para muestras muy pequeñas y distribuciones muy asimétricas considera tests no paramétricos.
• ¿Qué significa que el IC incluya el 0? Que con el nivel de confianza elegido no puedes descartar que ambas medias sean iguales.