Intervalo de confianza para una proporción

Descripción

Cuando queremos estimar la proporción real de una característica en una población (tasa de defectos, porcentaje de usuarios satisfechos, prevalencia de una enfermedad…), el intervalo de confianza para una proporción nos da el rango plausible para ese valor.

La proporción muestral \(\hat{p} = x/n\) (éxitos entre observaciones) es el estimador. Existen varios métodos para construir el intervalo; los más habituales son Wald (aproximación normal) y Wilson (más preciso para proporciones extremas o muestras pequeñas).

Método de Wald (aproximación normal)

\( \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \)

Válido cuando se cumple la regla práctica: \(n\hat{p} \geq 5\) y \(n(1-\hat{p}) \geq 5\).

Método de Wilson (recomendado)

\( \dfrac{\hat{p} + \dfrac{z^2}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^2}{4n^2}}}{1 + \dfrac{z^2}{n}} \)

Más preciso especialmente cuando \(\hat{p}\) está cerca de 0 o 1, o la muestra es pequeña.

Ejemplo real

En una encuesta a 200 clientes, 134 declaran estar satisfechos. \(\hat{p} = 134/200 = 0{,}67\). Con 95 % de confianza (Wald):

\( 0{,}67 \pm 1{,}960 \cdot \sqrt{\frac{0{,}67 \cdot 0{,}33}{200}} \approx [0{,}605,\; 0{,}735] \)

¿Cuándo usar Wilson en lugar de Wald?

Wilson es preferible cuando \(\hat{p}\) está cerca de 0 o 1 (por debajo de 0,1 o por encima de 0,9) o cuando n es pequeño. Wald puede dar límites fuera de [0,1] en esos casos, lo que no tiene sentido para una proporción.

¿Qué calcula esta herramienta?

Esta calculadora obtiene el intervalo de confianza para la proporción poblacional p usando los métodos de Wald (aproximación normal clásica) y Wilson (score interval), mostrando ambos para comparación y una representación gráfica de la distribución normal estándar con la región de confianza.

Preguntas frecuentes

• ¿Puedo introducir p̂ directamente en lugar de x? Introduce x = p̂ × n redondeado al entero más cercano; el resultado será equivalente.
• ¿Qué pasa si x = 0 o x = n? Wald da un intervalo de anchura cero, lo cual no es útil. Wilson maneja estos casos correctamente.
• ¿Cuándo se cumple la condición de normalidad? Cuando n·p̂ ≥ 5 y n·(1−p̂) ≥ 5. La calculadora te avisa si no se cumple.