Intervalo de confianza para una media (σ conocida)

Descripción

Cuando conoces la desviación típica poblacional \(\sigma\) (o puedes suponerla conocida con certeza), el intervalo de confianza para la media se construye usando la distribución normal estándar. Es el caso más sencillo y sirve como punto de partida para entender la lógica de los intervalos de confianza.

En la práctica, \(\sigma\) raramente se conoce con exactitud. Sin embargo, este intervalo es una buena aproximación cuando el tamaño muestral es grande (n ≥ 30) y la varianza poblacional es estable y conocida de estudios anteriores.

Fórmula

\( \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \)

• \(\bar{x}\): media muestral observada.
• \(z_{\alpha/2}\): valor crítico de la normal estándar para el nivel de confianza elegido.
• \(\sigma\): desviación típica poblacional (conocida).
• \(n\): tamaño de la muestra.

El margen de error es \(E = z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}\), y el intervalo queda \([\bar{x} - E,\; \bar{x} + E]\).

Valores críticos z habituales

• Confianza 90 %: \(z_{0,05} = 1{,}645\)
• Confianza 95 %: \(z_{0,025} = 1{,}960\)
• Confianza 99 %: \(z_{0,005} = 2{,}576\)

Ejemplo real

Una fábrica de tornillos conoce por especificaciones técnicas que \(\sigma = 0{,}08\) mm. Se mide una muestra de 50 tornillos y se obtiene \(\bar{x} = 10{,}02\) mm. Con un 95 % de confianza, el intervalo es:

\( 10{,}02 \pm 1{,}960 \cdot \frac{0{,}08}{\sqrt{50}} \approx [9{,}998,\; 10{,}042] \text{ mm} \)

Cómo interpretar el resultado

El intervalo \([L, U]\) indica que, con el nivel de confianza elegido, el procedimiento de estimación cubre el verdadero valor de \(\mu\) en esa proporción de muestras repetidas. No es una afirmación probabilística sobre el parámetro concreto, sino sobre el método.

• Si necesitas mayor precisión (intervalo más estrecho), aumenta \(n\) o acepta un nivel de confianza menor.
• Un IC más amplio no es "peor" por sí solo: refleja más honestamente la incertidumbre cuando la muestra es pequeña.

¿Qué calcula esta herramienta?

Esta calculadora obtiene el intervalo de confianza bilateral para la media poblacional \(\mu\) usando el estadístico z cuando \(\sigma\) es conocida. Calcula automáticamente el valor crítico, el margen de error y los límites inferior y superior del intervalo.

Cuándo usar este intervalo

Usa el IC z cuando el tamaño muestral es grande (n ≥ 30) o cuando \(\sigma\) está determinada con certeza por el proceso (por ejemplo, equipos de medición calibrados). Para muestras pequeñas con \(\sigma\) desconocida, usa el IC con t de Student.

Preguntas frecuentes

• ¿Por qué se usa z y no t? Porque \(\sigma\) es conocida; la distribución del estadístico \((\bar{x}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\) es exactamente normal estándar.
• ¿Qué pasa si el IC no contiene el valor de referencia? Que con ese nivel de confianza rechazarías la hipótesis de que \(\mu\) es ese valor.
• ¿Cómo reduzco la amplitud a la mitad? Cuadruplica el tamaño muestral (el margen de error varía con \(1/\sqrt{n}\)).